题目内容

已知函数 $数学公式$ ，（x＞0），其中a，b∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性（不必证明）；
（2）当 $数学公式$ 时，不等式f（x）≤10在 $数学公式$ 上恒成立，求b的取值范围．

解：（1）当a＜0时， $\text{[math]}$ ，在（0，+∞）上是增函数；
当a=0时，f（x）=x+b，在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，f（x）在 $\text{[math]}$ 上是减函数，在 $\text{[math]}$ 上是增函数．
（2）不等式f（x）≤10在 $\text{[math]}$ 上恒成立，即等价于f（x）_max≤10在 $\text{[math]}$ 上恒成立
$\text{[math]}$ ，f（1）=1+a+b
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$
分析：（1）对参数a进行讨论．当a＜0时，在（0，+∞）上是增函数；当a=0，时f（x）=x+b，在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0，时f（x）在 $\text{[math]}$ 上是减函数，在 $\text{[math]}$ 上是增函数．
（2）不等式f（x）≤10在 $\text{[math]}$ 上恒成立，即等价于f（x）_max≤10在 $\text{[math]}$ 上恒成立，由于函数在 $\text{[math]}$ 上的最大值在 $\text{[math]}$ ，1上取得，故只需比较 $\text{[math]}$ ，f（1）=1+a+b即可，从而可求b的取值范围．
点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查函数的单调性，考查利用函数的最值求解函数恒成立问题，关键是分类讨论，确定函数再区间上的最大值．