Question

下列各命题中，不正确的是（　　）

• A．若f（x）是连续的奇函数，则

  ∫

  α -α

  f(x)dx=0
• B．若f（x）是连续的偶函数，则

  ∫

  a -a

  f(x)dx=2

  ∫

  a 0

  f(x)dx
• C．若f（x）在[a，b]上连续且恒正，则

  ∫

  b a

  f(x)dx＞0
• D．若f（x）在[a，b]上连续，且

  ∫

  b a

  f(x)dx＞0，则f（x）在[a，b]上恒正

Answer 1

分析：A..若f（x）是连续的奇函数，则

∫

0 -a

f(x)dx=-

∫

a 0

f(x)dx，据此即可判断出答案；
B．若f（x）是连续的偶函数，则

∫

0 -a

f(x)dx=

∫

a 0

f(x)dx，据此即可判断出答案；
C．因为f（x）在[a，b]上连续且恒正，根据其单调性即可判断出是否正确；
D．举出反例即可否定．

解答：解：A．∵f（x）是连续的奇函数，∴

∫

a -a

f(x)dx=

∫

0 -a

f(x)dx+

∫

x 0

f(x)dx=-

∫

a 0

f(x)dx+

∫

a 0

f(x)dx=0，故A正确；
B．∵f（x）是连续的偶函数，∴

∫

a -a

f(x)dx=

∫

0 -a

f(x)dx+

∫

a 0

f(x)dx=2

∫

a 0

f(x)dx，故B正确；
C．∵f（x）在[a，b]上连续且恒正，∴

∫

b a

f(x)dx＞

∫

b a

0dx=0，故C正确；
D．举反例：

∫

2 -1

x3dx=

x4

4

|

2 -1

=4-

1

4

＞0，而f（x）=x³在区间[-1，0）上恒小于0，即函数f（x）在区间[-1，2]上不恒为正，故D不正确．
综上可知：只有D不正确．
故选D．

点评：正确理解定积分的性质是解题的关键．