题目内容
若对可导函数f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，则f（x）（ ）
分析：根据题目给出的条件2f（x）+xf′（x）＞0，想到构造函数g（x）=x2f（x），求导后分析该函数的单调性，从而能判出函数的极小值点，进一步得到函数g（x）恒大于0，则有f（x）恒大于0．
解答：解：令g（x）=x2f（x），
则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）
=x（2f（x）+xf′（x）），
因为2f（x）+xf′（x）＞0，
所以，当x＞0时，g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上为增函数．
当x＜0时，g′（x）＜0，所以函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．
所以，当x=0时函数g（x）有极小值，也就是最小值为g（0）=0．
所以g（x）=x2f（x）恒大于等于0，
当x≠0时，由x2f（x）恒大于0，可得f（x）恒大于0．
又对可导函数f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，
取x=0时，有2f（0）+0×f′（0）＞0，所以f（0）＞0．
综上有f（x）恒大于0．
故选A．
则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）
=x（2f（x）+xf′（x）），
因为2f（x）+xf′（x）＞0，
所以，当x＞0时，g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上为增函数．
当x＜0时，g′（x）＜0，所以函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．
所以，当x=0时函数g（x）有极小值，也就是最小值为g（0）=0．
所以g（x）=x2f（x）恒大于等于0，
当x≠0时，由x2f（x）恒大于0，可得f（x）恒大于0．
又对可导函数f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，
取x=0时，有2f（0）+0×f′（0）＞0，所以f（0）＞0．
综上有f（x）恒大于0．
故选A．
点评：本题考查了构造函数法，考查利用函数的导函数判断函数的单调性，解答的关键是合理构造出函数，属于基础题．
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若对可导函数f（x），g（x），当x∈[0，1]时恒有f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），若已知α，β 是一锐角三角形的两个内角，且α≠β，记F′（x）=
(g(x)≠0)，则下列不等式正确的是（ ）
| f(x) |
| g(x) |
| A、F（sinα）＜F（cosβ） |
| B、F（sinα）＜F（sinβ） |
| C、F（cosα）＞F（cosβ） |
| D、F（cosα）＜F（cosβ） |
，则下列不等式正确的是（ ）