Question

设实数x₁，x₂，x₃，x₄，x₅均不小于1，且x₁•x₂•x₃•x₄•x₅=729，则max{x₁x₂，x₂x₃，x₃x₄，x₄x₅}的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根据基本不等式得x₁x₂+x₃x₄≥2，即取定一个x₅后，x₁x₂，x₃x₄不会都小于，及x₂x₃+x₄x₅≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x₁x₂，x₂x₃，x₃x₄，x₄x₅}的最小值．
解答：解：∵x₁x₂+x₃x₄≥2，即取定一个x₅后，x₁x₂，x₃x₄不会都小于，
同样x₂x₃+x₄x₅≥2，
+≥2，
使三个不等式等号都成立，则
x₁x₂=x₃x₄=，
x₂x₃=x₄x₅=，
x₁=x₅
即x₁=x₃=x₅，x₂=x₄ x₁x₂=x₂x₃=x₃x₄=x₄x₅
所以729=x₁³×x₂²=，（x₁x₂）³=729×x₂
x₂最小为1，
所以x₁x₂最小值为9，
此时x₁=x₃=x₅=9 x₂=x₄=1．
故答案为：9．
点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．