Question

已知-＜x＜0,sinx+cosx=.
(1)求sinx-cosx的值；
（2）求的值.

Answer 1

（1）sinx-cosx=-（2）

（1）方法一 联立方程：
                                                  2分
由①得sinx=-cosx,将其代入②，整理得
25cos²x-5cosx-12="0.                                              " 4分
∵-＜x＜0,
∴,
所以sinx-cosx=-.                                        7分
方法二 ∵sinx+cosx=,
∴(sinx+cosx)²=,
即1+2sinxcosx=,
∴2sinxcosx=-.                                     2分
∵(sinx-cosx)²=sin²x-2sinxcosx+cos²x
=1-2sinxcosx=1+=                                  ①      4分
又∵-＜x＜0,∴sinx＜0,cosx＞0,
∴sinx-cosx＜0                                           ②
由①②可知：sinx-cosx=-.                                  7分
(2)由已知条件及（1）可知
,解得,                                      9分
∴tanx=-.                                                   11分
又∵
=
=                                                 13分
=.                                        14分