题目内容

①对任意x∈R,|2-x|+|3+x|≥a2-4a恒成立,则a满足
[-1,5]
[-1,5]
.②在极坐标系中,点P(2,-
π |
6 |
π |
6 |
3 |
3 |
③如图,点P在圆O直径AB的延长线上,且PB=OB=2,PC切圆O于点C,CD⊥AB于点D,则CD=
3 |
3 |
分析:①|2-x|+|3+x|表示数轴上的x对应点到-3、2对应点的距离之和,它的最小值等于5,故有5≥a2-4a,解此不等式,求得a的取值范围.
②点的极坐标和直角坐标的互化,极坐标方程化为直角坐标方程,然后用点到直线的距离来解.
③在圆中线段利用由切线定理求得∠PCO=90°,进而利用直角三角形PCO中的线段,结合解三角形求得CD即可.
②点的极坐标和直角坐标的互化,极坐标方程化为直角坐标方程,然后用点到直线的距离来解.
③在圆中线段利用由切线定理求得∠PCO=90°,进而利用直角三角形PCO中的线段,结合解三角形求得CD即可.
解答:解:①对任意x∈R,|2-x|+|3+x|表示数轴上的x对应点到-3、2对应点的距离之和,
它的最小值等于5,
要使|2-x|+|3+x|≥a2-4a恒成立,5≥a2-4a,
解得-1≤a≤5,故a的取值范围是[-1,5],
故答案为[-1,5].
②:在极坐标系中,点P(2,-
)化为直角坐标为(
,-1),
直线ρsin(θ-
)=1化为x-
y+2=0,
P(
,-1)到x-
y+2=0的距离,
即为P到直线ρsin(θ-
)=1的距离,所以距离为
=
+1.
故答案为:
+1.
③:∵PC是圆O的切线,
∴∠PCO=90°,
在直角三角形PCO中,PB=BO,
∴PO=2OC,
从而∠POC=60°,
在直角三角形OCD中,CO=2,
∴CD=
.
故答案为:
.
它的最小值等于5,
要使|2-x|+|3+x|≥a2-4a恒成立,5≥a2-4a,
解得-1≤a≤5,故a的取值范围是[-1,5],
故答案为[-1,5].
②:在极坐标系中,点P(2,-
π |
6 |
3 |
直线ρsin(θ-
π |
6 |
3 |
P(
3 |
3 |
即为P到直线ρsin(θ-
π |
6 |
|
| ||||
|
3 |
故答案为:
3 |
③:∵PC是圆O的切线,
∴∠PCO=90°,
在直角三角形PCO中,PB=BO,
∴PO=2OC,
从而∠POC=60°,
在直角三角形OCD中,CO=2,
∴CD=
3 |
故答案为:
3 |
点评:①本题主要考查指数不等式对数不等式的解法,函数的恒成立问题,属于中档题.②本题关键是直角坐标和极坐标的互化,体现等价转化数学思想.③此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、与圆有关的比例线段,属于基础题.

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