Question

观察下列三角形数表
假设第n行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；
（Ⅱ）归纳出a_n+1与a_n的关系式并求出a_n的通项公式；
（Ⅲ）设a_nb_n=1，求证：b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

分析：（I）根据三角形数表，两侧数为从1开始的自然数列，中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和的规律写出来．
（II）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
（III）由a_nb_n=1，解得bn=

2

n2-n+2

＜

2

n2-n

=2(

1

n-1

-

1

n

)再由裂项相消法证明．

解答：解：（I）第六行的所有6个数字分别是
6，16，25，25，16，6；（2分）
（II）依题意a_n+1=a_n+n（n≥2），
a₂=2a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）++（a_n-a_n-1）
=2+2+3++(n-1)=2+

(n-2)(n+1)

2

，
所以an=

1

2

n2-

1

2

n+1   (n≥2)；
（III）因为a_nb_n=1，所以bn=

2

n2-n+2

＜

2

n2-n

=2(

1

n-1

-

1

n

)（12分）b2+b3+b4++bn＜2[(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n-1

-

1

n

)]=2(1-

1

n

)＜2．（15分）

点评：本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，还考查了数列间的关系，入题较难，知识点，方法活，属中档题．