Question

已知在等差数列{a_n}中，d＞0，a₂₀₀₈、a₂₀₀₉是方程x²-3x-5=0的两个根，那么使得前n项和S_n＜0的最大的n值是

4015

．

Answer 1

分析：先根据根与系数的关系求出a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=3＞0，a₂₀₀₈a₂₀₀₉=-5＜0而d＞0则a₂₀₀₉＞0，且a₂₀₀₈＜0，从而S₄₀₁₆＞0，S₄₀₁₅＜0，求出所求．

解答：解：∵在等差数列{a_n}中，d＞0，a₂₀₀₈、a₂₀₀₉是方程x²-3x-5=0的两个根
∴a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=3＞0，a₂₀₀₈a₂₀₀₉=-5＜0，d＞0
∴a₂₀₀₉＞0，且a₂₀₀₈＜0，∴a₁+a₄₀₁₆＞0，a₁+a₄₀₁₅＜0，
∴

4016(a1+a4016)

2

＞0，

4015(a1+a4015 )

2

＜0，∴S₄₀₁₆＞0，S₄₀₁₅＜0．
故使得前n项和S_n＜0的最大的n值是4015．
故答案为：4015．

点评：本题主要考查了等差数列的前n项和，以及等差数列的性质，判定出a₂₀₀₉＞0，且a₂₀₀₈＜0是解题的关键，属于基础题．