题目内容
设函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2+2.(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)若不等式f(x)>m在恒成立,求实数m的取值范围.
(3)若对任意的a∈(1,2),总存在x∈[1,2],使不等式成立,求实数m的取值范围.
【答案】分析:(1)求出f(x)的导函数,令f′(x)>0得-2<x<-1或x>0写出区间形式即为函数f(x)的单调增区间.
(2)由(1)得f(x)在的单调性,进一步求出f(x)min,得到m的范围.
(3)构造函数g(a),通过导数求出g(a)的最大值,由(1)求出fmax=f(2)=11-ln9,令fmax大于g(a)的最大值求出a的范围
解答:解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1}…(1分)
…(2分)
由f′(x)>0得-2<x<-1或x>0
故函数f(x)的单调增区间为(-2,-1)和(0,+∞)
(2)∵当时f′(x)<0…(4分)
当x∈[0,e-1]时f′(x)>0
∴f(x)在上单调递减,在[0,e-1]上单调递减.…(6分)
f(x)min=f(0)=1-0+2=3
∴m<3…(8分)
(3)设
y=g(a)在上单减,在上单增…(10分)
由(1)知f(x)在[1,2]上单增,
∴fmax=f(2)=11-ln9…(12分)
又
g(1)>g(2)
∴
∴…(14分)
点评:解决不等式恒成立求参数的范围,一般是将参数分离出来,通过构造函数,利用导数求出函数的单调性进一步求出函数的最值,得到参数的范围.
(2)由(1)得f(x)在的单调性,进一步求出f(x)min,得到m的范围.
(3)构造函数g(a),通过导数求出g(a)的最大值,由(1)求出fmax=f(2)=11-ln9,令fmax大于g(a)的最大值求出a的范围
解答:解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1}…(1分)
…(2分)
由f′(x)>0得-2<x<-1或x>0
故函数f(x)的单调增区间为(-2,-1)和(0,+∞)
(2)∵当时f′(x)<0…(4分)
当x∈[0,e-1]时f′(x)>0
∴f(x)在上单调递减,在[0,e-1]上单调递减.…(6分)
f(x)min=f(0)=1-0+2=3
∴m<3…(8分)
(3)设
y=g(a)在上单减,在上单增…(10分)
由(1)知f(x)在[1,2]上单增,
∴fmax=f(2)=11-ln9…(12分)
又
g(1)>g(2)
∴
∴…(14分)
点评:解决不等式恒成立求参数的范围,一般是将参数分离出来,通过构造函数,利用导数求出函数的单调性进一步求出函数的最值,得到参数的范围.
练习册系列答案
相关题目