Question

已知向量

OA

=（1，-2），

OB

=（a，-1），

OC

=（-b，0）（其中a＞0，b＞0，O是坐标原点），若A，B，C三点共线，则

1

a

+

2

b

的最小值为

8

．

Answer 1

分析：利用

OA

，

OB

，

OC

的坐标，结合A，B，C三点共线可求得a，b的关系，利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：∵

OA

=（1，-2），

OB

=（a，-1），

OC

=（-b，0），
∴

AB

=（a-1，1），

AC

=（-b-1，2），
∵A，B，C三点共线，
∴2（a-1）-（-b-1）=0，
∴2a+b=1．又a＞0，b＞0，
∴

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（2a+b）=2+2+

4a

b

+

b

a

≥4+2

4a b • b a

=4+2×2=8（当且仅当a=

1

4

，b=

1

2

时取等号）．
故答案为：8．

点评：本题考查向量共线的坐标运算，考查基本不等式，求得是关键，属于中档题．