题目内容

已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为-2的等差数列；am+1，am+2，…a2m是首项为
1
2
，公比为
1
2
的等比数列（m≥3，m∈N*），并对任意n∈N*，均有an+2m=an成立．
（1）当m=12时，求a2010；
（2）若a52=
1
128
，试求m的值；
（3）判断是否存在m，使S128m+3≥2010成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由an+24=an，知a2010=a18，a18是以
1
2
为首项，以
1
2
为公比的等比数列的第6项，所以a2010=
1
64
．
（2）由
1
128
=(
1
2
)7，知m≥7，由a52=
1
128
，知2km+m+7=（2k+1）m+7=52，由此入手可求出m可取9、15、45．
（3）由S128m+3=64S2m+a1+a2+a3=64(10m+
m(m-1)
2
(-2)+
1
2
(1-(
1
2
)m)
1-
1
2
)+10+8+6，知S128m+3=704m-64m2+88-64(
1
2
)m≥2010，704m-64m2≥2010-88+64(
1
2
)m=1922+64(
1
2
)m．设f（m）=704m-64m2，g(m)=1922+64(
1
2
)m＞1922；f（m）=-64（m2-11m），f（x）max=f（5）=f（6）=1920，所以不存在这样的m．
解答：（1）an+24=an；所以a2010=a18（2分）
a18是以
1
2
为首项，以
1
2
为公比的等比数列的第6项，
所以a2010=
1
64
（4分）

（2）
1
128
=(
1
2
)7，所以m≥7（5分）
因为a52=
1
128
，所以2km+m+7=（2k+1）m+7=52，其中m≥7，m∈N，k∈N（6分）
（2k+1）m=45，
当k=0时，m=45，成立．
当k=1时，m=15，成立；
当k=2时，m=9成立（9分）
当k≥3时，m≤
45
7
＜7；
所以m可取9、15、45（10分）

（3）S128m+3=64S2m+a1+a2+a3=64(10m+
m(m-1)
2
(-2)+
1
2
(1-(
1
2
)m)
1-
1
2
)+10+8+6（12分）S128m+3=704m-64m2+88-64(
1
2
)m≥2010
704m-64m2≥2010-88+64(
1
2
)m=1922+64(
1
2
)m
设f（m）=704m-64m2，g(m)=1922+64(
1
2
)m（14分）
g（m）＞1922；
f（m）=-64（m2-11m），对称轴m=
11
2
∉N*，
所以f（m）在m=5或6时取最大f（x）max=f（5）=f（6）=1920，
因为1922＞1920，所以不存在这样的m（16分）
点评：本题考查数列的不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意计算能力的培养．
练习册系列答案
相关题目
已知无穷数列{an}前n项和Sn=
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an-1，则数列{an}的各项和为
 
已知无穷数列{an}中a1=1，且满足从第二项开始每一项与前一项的比值为同一个常数-
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2
，则无穷数列{an}的各项和
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3
2
3
．
（2009•闵行区一模）已知无穷数列{an}，首项a1=3，其前n项和为Sn，且an+1=（a-1）Sn+2（a≠0，a≠1，n∈N*）．若数列{an}的各项和为-
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3
a，则a=
-
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2
-
1
2
．
（2008•普陀区二模）已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是以10为首项，以-2为公差的等差数列；am+1，am+2，…，a2m是以
1
2
为首项，以
1
2
为公比的等比数列（m≥3，m∈N*）；并且对一切正整数n，都有an+2m=an成立．
（1）当m=3时，请依次写出数列{an}的前12项；
（2）若a23=-2，试求m的值；
（3）设数列{an}的前n项和为Sn，问是否存在m的值，使得S128m+3≥2008成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am构成首项为2，公差为-2的等差数列am+1，am+2，…，a2m，构成首项为
1
2
，公比为
1
2
的等比数列，其中m≥3，m∈N+，
（l）当1≤n≤2m，n∈N+，时，求数列{an}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N+，都有an+2m=an成立．
①当a27=
1
64
时，求m的值；
②记数列{an}的前n项和为Sn．判断是否存在m，使得S4m+1≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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