Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，证明方程有且仅有一个实数根；

（Ⅲ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

解（Ⅰ）时，，，切点坐标为，

     切线方程为                     

（Ⅱ）时，令，

，在上为增函数。

又，                   

在内有且仅有一个零点

在内有且仅有一个实数根     

（或说明也可以）

（Ⅲ）恒成立， 即恒成立，

      又，则当时，恒成立，

     令，只需小于的最小值，

，

    ， ， 当时，

    在上单调递减，在的最小值为，

     则的取值范围是  ．