题目内容
已知f（x）=（x-1）2，g（x）=4x-4数列{an}满足a1=2，（an+1-an）g（an）+f（an）=0，（n∈N+）
（1）证明数列{an-1}是等比数列；
（2）设bn=7f（an）-g（an+1），求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）在（2）的条件下，是否存在自然数M使得Sn＜M＜f（x）-g（x）+
对任意n∈N*和任意实数x均成立，若存在求出满足条件的所有自然数M．
（1）证明数列{an-1}是等比数列；
（2）设bn=7f（an）-g（an+1），求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）在（2）的条件下，是否存在自然数M使得Sn＜M＜f（x）-g（x）+
| 23 | 2 |
分析：（1）利用f（x）、g（x）的解析式，将等式（an+1-an）g（an）+f（an）=0，化简整理得4an+1-3an-1=0，可得4（an+1-1）=3（an-1），从而得到数列{an-1}是首项a1-1=1，公比q=
的等比数列；
（2）由（1）求出an=(
)n-1+1，代入表达式求出bn=7×(
)n-1-3×(
)n-1，再利用等比数列求和公式即可算出前n项和Sn=-16•（
）2n+12•（
）n+4；
（3）根据二次函数的图象与性质，并且采用换元法求出Sn=-16•（
）2n+12•（
）n+4的最大值为S3=
≈6.21，结合f（x）-g（x）+
=x2-6x+
当x=3时取得最小值为
，可得不等式Sn＜M＜f（x）-g（x）+
对任意n∈N*和任意实数x均成立，即6.21≤M＜
成立，解之得M=7．
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（2）由（1）求出an=(
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| 4 |
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| 4 |
| 3 |
| 4 |
（3）根据二次函数的图象与性质，并且采用换元法求出Sn=-16•（
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1591 |
| 256 |
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| 2 |
| 33 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
| 23 |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
解答：解：（1）∵f（x）=（x-1）2，g（x）=4x-4
∴（an+1-an）g（an）+f（an）=0，
即4（an+1-an）（an-1）+（an-1）2=0，化简得（an-1）（4an+1-3an-1）=0
∵an≠1，
∴4an+1-3an-1=0，可得4（an+1-1）=3（an-1），从而得到
=
，
由此可得数列{an-1}是等比数列，它的首项a1-1=1，公比q=
；
（2）由（1），得an=(
)n-1+1
∴f（an）=(
)2n-2，g（an+1）=4•(
)n，
可得bn=7f（an）-g（an+1）=7•(
)2n-2-4•(
)n=7×(
)n-1-3×(
)n-1，
数列{bn}的前n项和Sn=
-
=-16•（
）2n+12•（
）n+4；
（3）令t=（
）n，得
Sn=-16•（
）2n+12•（
）n+4=-16t2+12t+4=-16（t-
）2+
∵n∈N*，∴结合二次函数的图象与性质，得当n=3时t=
时，Sn的最大值为S3=
≈6.21
又∵f（x）-g（x）+
=x2-6x+
，当x=3时取得最小值为
∴若存在自然数M，使得Sn＜M＜f（x）-g（x）+
对任意n∈N*和任意实数x均成立，
则6.21≤M＜
成立，解之得M=7
即存在自然数M=7，使得Sn＜M＜f（x）-g（x）+
对任意n∈N*和任意实数x均成立．
∴（an+1-an）g（an）+f（an）=0，
即4（an+1-an）（an-1）+（an-1）2=0，化简得（an-1）（4an+1-3an-1）=0
∵an≠1，
∴4an+1-3an-1=0，可得4（an+1-1）=3（an-1），从而得到
| an+1-1 |
| an-1 |
| 3 |
| 4 |
由此可得数列{an-1}是等比数列，它的首项a1-1=1，公比q=
| 3 |
| 4 |
（2）由（1），得an=(
| 3 |
| 4 |
∴f（an）=(
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
可得bn=7f（an）-g（an+1）=7•(
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数列{bn}的前n项和Sn=
7[1-(
| ||
1-
|
3[1-(
| ||
1-
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| 3 |
| 4 |
（3）令t=（
| 3 |
| 4 |
Sn=-16•（
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
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| 4 |
∵n∈N*，∴结合二次函数的图象与性质，得当n=3时t=
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| 1591 |
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又∵f（x）-g（x）+
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| 2 |
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| 2 |
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| 2 |
∴若存在自然数M，使得Sn＜M＜f（x）-g（x）+
| 23 |
| 2 |
则6.21≤M＜
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| 2 |
即存在自然数M=7，使得Sn＜M＜f（x）-g（x）+
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| 2 |
点评：本题给出两个函数的表达式，求证数列{an-1}是等比数列，并依此解决一个不等式恒成立的问题．着重考查了二次函数的图象与性质、等比数列的通项与求和公式和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．
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| π |
| 2 |
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| 2 |
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D、函数y=f（x）+g（x）的一个单调增区间是[-
|
已知f（x）=
，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间
上的值域为
，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
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上的值域为
，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．