Question

（2012•杭州二模）已知抛物线C：x²=2py（p＞0），其焦点F到直线x-y-1=0的距离为

5

8

2

．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若△ABC的三个顶点在抛物线C上，顶点B 的横坐标为1，且直线BA，BC的倾斜角互为补角，过点A、C分别作抛物线C 的切线，两切线相交于点D，当△ADC面积等于4时，求直线BC的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抛物线的焦点F到直线x-y-1=0的距离为

5

8

2

，可得

|0- p 2 -1|

2

=

5

8

2

，从而可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）可得B（1，1），设A（x₁，x12），C（x₂，x22），将直线AB、BC方程与抛物线方程联立，确定A、C的坐标，设出DC，AD的方程，联立解得D的坐标，表示出△ACD的面积，进而可确定直线BC的斜率．

解答：解：（Ⅰ）抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F（0，

p

2

）
∵焦点F到直线x-y-1=0的距离为

5

8

2

∴

|0- p 2 -1|

2

=

5

8

2

∴p=

1

2

∴抛物线C的方程为x²=y；
（Ⅱ）∵△ABC的三个顶点在抛物线C上，顶点B 的横坐标为1，
∴B（1，1）
设A（x₁，x12），C（x₂，x22），直线BC方程为y-1=k（x-1）
由

y-1=k(x-1) x2=y

，消去y可得x²-kx+k-1=0
∴1+x₂=k，∴x₂=k-1，∴C（k-1，（k-1）²）
同理A（-k-1，（k+1）²），线段AC的中点M的坐标为（-1，k²+1）
y′=2x，则设DC：y-（k-1）²=2（k-1）（x-k+1）；AD：y-（k+1）²=-2（k+1）（x+k+1）
联立解得D（-1，1-k²）
连接DM，则|DM|=2k²
∴△ACD的面积S=

1

2

×2k2(|k-2|+|k|)
当k≥2时，S=k²（2k-2）＞8＞4，所以k无解；
当0≤k＜2时，S=2k²=4，解得k=

2

；
当k＜0时，S=k²（2-2k）=4，解得k=-1，
综上所述，直线BC的斜率为

2

或-1

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的切线，考查三角形的面积的计算，解题的关键是利用点到直线的距离公式，确定切线方程，属于中档题．