Question

已知函数f(x)=|

1

x

-3|，x∈（0，+∞）
（1）画出y=f（x）的大致图象，并根据图象写出函数y=f（x）的单调区间；
（2）设0＜a＜

1

9

，b＞

1

3

试比较f（a），f（b）的大小．
（3）是否存在实数a，b，使得函数y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由y=

1

x

，x∈（0，+∞）的图象向下平移3个单位，再把x轴下方的翻折到x轴上方，可得y=f（x）的大致图象，从而可得函数y=f（x）的单调区间；
（2）分别表示出f（a），f（b），确定其范围，即可比较f（a），f（b）的大小；
（3）可假设存在实数a，b，使得y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，由此出发探究a，b的可能取值，可分三类：a，b∈（0，

1

3

）时，a，b∈（

1

3

，+∞）时，a∈（0，

1

3

），b∈（

1

3

，+∞），分别建立方程，寻求a，b的可能取值，若能求出这样的实数，则说明存在，否则说明不存在．

解答：解：（1）由y=

1

x

，x∈（0，+∞）的图象向下平移3个单位，再把x轴下方的翻折到x轴上方，可得y=f（x）的大致图象
如图所示
函数y=f（x）的单调减区间为（0，

1

3

），单调增区间为（

1

3

，+∞）；
（2）由题意，f（a）=

1

a

-3，f（b）=3-

1

b

∵0＜a＜

1

9

，b＞

1

3

∴

1

a

＞9，0＜

1

b

＜3
∴f（a）＞6，0＜f（b）＜3
∴f（a）＞f（b）；
（3）不存在实数a，b满足条件．
假设存在实数a，b，使得y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，而y≥0，x≠0，所以应有a＞0
又f（x）=

1 x -3，0＜x＜ 1 3 3- 1 x ，x＞ 1 3

①当a，b∈（0，

1

3

）时，函数在（0，

1

3

）上为减函数，
故有

f(a)=b f(b)=a

，即

1 a -3=b 1 b -3=a

，由此可得a=b，此时实数a，b的值不存在．
②当a，b∈（

1

3

，+∞）时，函数在（

1

3

，+∞）上为增函数，
故有

f(a)=a f(b)=b

，即

1 a -3=a 1 b -3=b

，由此可得a，b是方程x²+3x-1=0的根，所以x=

-3± 13

2

，不合题意，故此时实数a，b也不存在．
③当a∈（0，

1

3

），b∈（

1

3

，+∞）时，显然

1

3

∈[a，b]，而f（

1

3

）=0∈[a，b]不可能，此时a，b也不存在
综上可知，适合条件的实数a，b不存在．

点评：本题考查函数的图象，考查函数与方程的综合应用，考查绝对值函数，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，是一道综合性较强的题，思维难度大．