Question

求S_n=1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）（n∈N^*）可用如下方法：

1×2= 1 3 (1×2×3-0×1×2) 2×3= 1 3 (2×3×4-1×2×3) 3×4= 1 3 (3×4×5-2×3×4) … n(n+1)= 1 3 [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]

将以上各式相加，得S_n=

1

3

n（n+1）（n+2），仿此方法，求S_n=1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n∈N^*）．

Answer 1

分析：类比已知，1×2×3对应的系数应为

1

4

，括号里应有1×2×3×4，与0×1×2×3的差式，依此类推．再各式相加．

解答：解：

1×2×3= 1 4 (1×2×3×4-0×1×2×3) 2×3×4= 1 4 (2×3×4×5-1×2×3×4) 3×4×5= 1 4 (3×4×5×6-2×3×4×5) … n(n+1)(n+2)= 1 4 [n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]

------------------------------（9分）
将以上各式相加得Sn=

1

4

n(n+1)(n+2)(n+3)---------（15分）

点评：本题考查类比推理，本题要确定好前面的系数，以及后面项的因式构成．属于中档题．