题目内容

已知不等式|1-kxy|>|kx-y|.
(1)当k=1,y=2时,解关于x的不等式|1-kxy|>|kx-y|;
(2)若不等式|1-kxy|>|kx-y|对任意满足|x|<1,|y|<1的实数x,y恒成立,求实数k的取值范围

(1) x∈(-∞,-1) ∩(1,+ ∞).
(2) k∈[-1,1]
(1)当k=1,y=2时,不等式|1-kxy|>|kx-y|即为|1-2x|>|x-2|.
所以1-4x+4x2>x2-4x+4x2>1,所以x∈(-∞,-1) ∩(1,+ ∞).        (5分)
(2)由已知得|1-kxy|>|kx-y||1-kxy|2>|kx-y|21+k2x2y2>k2x2+y2,
即(k2x2-1)(y2-1) >0对任意满足|x|<1,|y|<1的实数x,y恒成立.         
而y2<1,所以y2-1<0,故(k2x2-1)(y2-1) >0k2x2-1<0.
于是命题转化为k2x2-1<0对任意满足|x|<1的实数x恒成立.  (8分) 
当x=0时,易得k∈R;
当x≠0时,有k2<对任意满足|x|<1,x≠0的实数x恒成立.
由0<|x|<10<x2<1∈(1,+ ∞),所以k2≤1.
综合以上得k∈[-1,1]即为所求的取值范围.  
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