Question

已知关于x的方程9^x+m•3^x+6=0（其中m∈R）．
（1）若m=-5，求方程的解；
（2）若方程没有实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当m=-5时，方程即为9^x-5•3^x+6=0，利用换元法，令3^x=t（t＞0），方程可转化为t²-5t+6=0，可求t进而可求x
（2）令3^x=t（t＞0），方程可转化为t²+mt+6=0①，要使原方程没有实数根，应使方程①没有实数根，或者没有正实数根，结合二次方程可求

解答：解：（1）当m=-5时，方程即为9^x-5•3^x+6=0，
令3^x=t（t＞0），方程可转化为t²-5t+6=0，
解得t=2或t=3，
由3^x=2得x=log₃2，由3^x=3得x=1，
故原方程的解为1，log₃2．
（2）令3^x=t（t＞0）．
方程可转化为t²+mt+6=0①
要使原方程没有实数根，应使方程①没有实数根，或者没有正实数根．
当方程①没有实数根时，需△=m²-24＜0，
解得-2

6

＜m＜2

6

；
当方程①没有正实数根时，方程有两个相等或不相等的负实数根，
这时应有

△=m2-24≥0 -m＜0

，解得m≥2

6

．
综上，实数m的取值范围为m＞-2

6

．

点评：本题主要考查了利用换元法求解二次方程的根，解题的难点在于（2）中二次方程的根有限制条件时，要注意结合二次函数的性质．