Question

已知直线l：x-ny=0（n∈N*），圆M：（x+1）²+（y+1）²=1，抛物线φ：y=（x-1）²，又l与M交于点A、B，l与φ交于点C、D，求．

Answer 1

【答案】分析：要求的值，必须先求它与n的关系，，由圆心到直线l的距离和圆的知识可知|AB|²=．设点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由整理得nx²-（2n+1）x+n=0，由根与系数的关系可知|CD|²=（4n+1）（n²+1）．由此能够求出的值．
解答：解：设圆心M（-1，-1）到直线l的距离为d，则d²=．
又r=1，∴|AB|²=4（1-d²）=．
设点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由⇒nx²-（2n+1）x+n=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=1．
∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=，（y₁-y₂）²=（-）²=，
∴|CD|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=（4n+1）（n²+1）．
∴===2．
点评：本题属于解析几何与数列极限的综合题．要求极限，需先求，这就要求掌握求弦长的方法．