Question

已知直线l：x-ny=0（n∈N*），圆M：（x+1）²+（y+1）²=1，抛物线φ：y=（x-1）²，又l与M交于点A、B，l与φ交于点C、D，求

lim

n→∞

|AB|2

|CD|2

．

Answer 1

分析：要求

lim

n→∞

|AB|2

|CD|2

的值，必须先求它与n的关系，，由圆心到直线l的距离和圆的知识可知|AB|²=

8n

1+ n 2

．设点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

x-ny=0 y=(x-1)2

整理得nx²-（2n+1）x+n=0，由根与系数的关系可知|CD|²=

1

n4

（4n+1）（n²+1）．由此能够求出

lim

n→∞

|AB|2

|CD|2

的值．

解答：解：设圆心M（-1，-1）到直线l的距离为d，则d²=

(n-1)2

n 2   +1

．
又r=1，∴|AB|²=4（1-d²）=

8n

1+ n 2

．
设点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

x-ny=0 y=(x-1)2

?nx²-（2n+1）x+n=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=1．
∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

4n+1

n 2

，（y₁-y₂）²=（

x1

n

-

x2

n

）²=

4n+1

n4

，
∴|CD|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=

1

n4

（4n+1）（n²+1）．
∴

lim

n→∞

|AB |2

|CD|2

=

lim

n→∞

8n5

(4n+1)(n2+1)2

=

lim

n→∞

8

(4+ 1 n )(1+ 1 n )2

=2．

点评：本题属于解析几何与数列极限的综合题．要求极限，需先求

|AB |2

|CD|2

，这就要求掌握求弦长的方法．