题目内容

(不等式选讲选做题)已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
的最大值为
3
2
3
2
分析:根据柯西不等式(x1y1+x2y2+x3y32≤(x12+x22+x32)(y12+y22+y32),将原式进行配凑并结合已知条件a+b+c=1加以计算,即可得到
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
的最大值.
解答:解:根据柯西不等式,可得
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
2
=(1•
3a+1
+1•
3b+1
+1•
3c+1
2
≤(12+12+12)[(
3a+1
2+(
3b+1
2+(
3c+1
2]=3[3(a+b+c)+3]=18
当且仅当
3a+1
=
3b+1
=
3c+1
),
即a=b=c=
1
3
时,(
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
2的最大值为18
因此
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
的最大值为 3
2

故答案为:3
2
点评:本题给出三个正数满足a+b+c=1,求
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
的最大值.考查了利用柯西不等式求最值的方法,属于中档题.
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