题目内容
(不等式选讲选做题)已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则
+
+
的最大值为
3a+1 |
3b+1 |
3c+1 |
3
2 |
3
.2 |
分析:根据柯西不等式(x1y1+x2y2+x3y3)2≤(x12+x22+x32)(y12+y22+y32),将原式进行配凑并结合已知条件a+b+c=1加以计算,即可得到
+
+
的最大值.
3a+1 |
3b+1 |
3c+1 |
解答:解:根据柯西不等式,可得
(
+
+
)2
=(1•
+1•
+1•
)2
≤(12+12+12)[(
)2+(
)2+(
)2]=3[3(a+b+c)+3]=18
当且仅当
=
=
),
即a=b=c=
时,(
+
+
)2的最大值为18
因此
+
+
的最大值为 3
.
故答案为:3
(
3a+1 |
3b+1 |
3c+1 |
=(1•
3a+1 |
3b+1 |
3c+1 |
≤(12+12+12)[(
3a+1 |
3b+1 |
3c+1 |
当且仅当
3a+1 |
3b+1 |
3c+1 |
即a=b=c=
1 |
3 |
3a+1 |
3b+1 |
3c+1 |
因此
3a+1 |
3b+1 |
3c+1 |
2 |
故答案为:3
2 |
点评:本题给出三个正数满足a+b+c=1,求
+
+
的最大值.考查了利用柯西不等式求最值的方法,属于中档题.
3a+1 |
3b+1 |
3c+1 |

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