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(不等式选讲选做题)已知a,b,c∈R
+
,且a+b+c=1,则
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
的最大值为
3
2
3
2
.
试题答案
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分析:
根据柯西不等式(x
1
y
1
+x
2
y
2
+x
3
y
3
)
2
≤(x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
)(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
),将原式进行配凑并结合已知条件a+b+c=1加以计算,即可得到
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
的最大值.
解答:
解:根据柯西不等式,可得
(
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
)
2
=(1•
3a+1
+1•
3b+1
+1•
3c+1
)
2
≤(1
2
+1
2
+1
2
)[(
3a+1
)
2
+(
3b+1
)
2
+(
3c+1
)
2
]=3[3(a+b+c)+3]=18
当且仅当
3a+1
=
3b+1
=
3c+1
),
即a=b=c=
1
3
时,(
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
)
2
的最大值为18
因此
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
的最大值为 3
2
.
故答案为:3
2
点评:
本题给出三个正数满足a+b+c=1,求
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
的最大值.考查了利用柯西不等式求最值的方法,属于中档题.
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本题A、B、C三个选答题,请考生任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
A.(不等式选讲选做题)若不等式|x-1|+|x-m|<2m的解集为∅,则m的取值范围为
.
B.(几何证明选讲选做题)如图所示,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=
,则线段CD的长为
.
C.(极坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,ρ(2,
)的直角坐标是
.
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.
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,则线段CD的长为
.
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)的直角坐标是
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.
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,则线段CD的长为
.
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)的直角坐标是
.
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,则线段CD的长为
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,则线段CD的长为
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