Question

已知函数f(x)=x+

a

x

+b(x≠0)．，其中a，b∈R
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；讨论函数f（x）的单调性即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[

1

4

，1]上的最大值为f(

1

4

)与f（1）中的较大者，对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，利用函数的最值列出关于a，b的不等关系，从而得满足条件的b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=1-

a

x2

，
当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0），这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）内是增函数；
当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=±

a

，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，- a ）	- a	（- a ，0）	（0， a ）	a	（ a ，+∞）
f'（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

所以f（x）在（-∞，-

a

），（

a

，+∞）内是增函数，在（-

a

，0），（0，

a

）内是减函数
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[

1

4

，1]上的最大值为f(

1

4

)与f（1）中的较大者，对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，当且仅当

f( 1 4 )≤10 f(1)≤10

，即

b≤ 39 4 -4a b≤9-a

，对任意的a∈[

1

2

，2]成立．从而得b≤

7

4

，所以满足条件的b的取值范围是（-∞，

7

4

]．

点评：本题考查了函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．