题目内容

设b＞0,椭圆方程为=1,抛物线方程为x2=8(y-b).如图4所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.

图4

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程.

(2)设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).

解:(1)由,

易得点G的坐标为(4,b+2),

抛物线在点G处的切线斜率为k=

抛物线在点G处的切线方程为x-4=即y=x+b-2,

又F1的坐标为(b,0),4b=8(-b),

∴b=1.

椭圆方程为+y2=1,抛物线的方程为x2=8(y-1).

(2)共有四个点.

分别过A、B作x轴的垂线交抛物线于P1、P2,

则得到两个直角三角形△ABP1、△ABP2.

以AB为直径的圆显然与抛物线有两个交点P3、P4,

则又得到两个直角三角形△ABP3、△ABP4.

因为P1A与圆相切于点A，而P3在圆周上，

所以P3与P1不重合，同理P4与P2不重合.

故P1、P2、P3和P4是两两互不相同的点。

 


练习册系列答案
相关题目
已知椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1 ( a＞b＞0 )，它的一个顶点为M（0，1），离心率e=
6
3
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为
3
2
，求△AOB面积的最大值．
简化北京奥动会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC．BD．设内层椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），则外层椭圆方程可设
x2
(ma)2
+
y2
(mb)2
=1（a＞b＞o，m＞1）．若AC与BD的斜率之积为-
9
16
，则椭圆的离心率为
 
．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距为4，设右焦点为F1，离心率为e．
（1）若e=
2
2
，求椭圆的方程；
（2）设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．
①证明点A在定圆上；
②设直线AB的斜率为k，若k≥
3
，求e的取值范围．
设b＞0,椭圆方程为=1,抛物线方程为x2=8(y-b).如图6所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.

图6

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程.

(2)设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).

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