题目内容
圆c:x2+(y-1)2=1和圆c1:(x-2)2+(y-1)2=1,现构造一系列的圆c2,c3,…,cn,…,使圆cn+1同时与圆cn和圆c相切,并且都与x轴相切.①写出圆cn-1的半径rn-1与圆cn的半径rn之间关系式,并求出圆cn的半径;
②(理科做)设两个相邻圆cn和cn+1的外公切线长为ln,求

(文科做)求l1+l2+…+ln.
【答案】分析:(1)圆cn+1同时与圆cn和圆c相切,并且都与x轴相切,故可得出两个方程,化简可得圆cn-1的半径rn-1与圆cn的半径rn之间关系式,从而求出圆cn的半径;
(2)由(1)知圆心坐标,再求外公切线长,利用裂项法可求和.
解答:解:(1)由题意,c1(2,1),r1=1,设cn(xn,rn),cn-1(xn-1,rn-1),则有
,
,即
∴
,从而有
;
(2)(理科)由(1)知,
,∴
,
∴
,∴
.
(文科)由(1)知,
,∴
,
∴
,
点评:本题主要考查圆与圆相切,应充分利用两圆外切的条件,进行等价变形,对于求和利用裂项法.
(2)由(1)知圆心坐标,再求外公切线长,利用裂项法可求和.
解答:解:(1)由题意,c1(2,1),r1=1,设cn(xn,rn),cn-1(xn-1,rn-1),则有





(2)(理科)由(1)知,


∴


(文科)由(1)知,


∴

点评:本题主要考查圆与圆相切,应充分利用两圆外切的条件,进行等价变形,对于求和利用裂项法.

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