Question

已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m,n使得h(x)=mf(x)+ng(x),那么称h(x)为f(x)、g(x)在R上生成的一个函数，设f(x)=x²+ax,g(x)=x+b,(a,b∈R),r(x)=2x²+3x-1,h(x)为f(x)、g(x)在R上生成的一个二次函数。

（1）设a=1,b=2,若h(x)为偶函数，求h()；

（2）设b>0，若h(x)同时也是g(x)、r(x)在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；

（3）试判断h(x)能否为任意一个二次函数，并证明你的结论。

Answer 1

（1）当a=1,b=2时，h(x)=mx²+(m+n)x+2n为偶函数，则m+n=0, h()=0

   （2）由题意，设h(x)=m(x²+ax)+n(x+b)=k(x+b)+t(2x²+3x-1)

则m=2t,am+n=kb+t,nb=kb-t,得

所以

   （3）令h(x)=Ax²+Bx+C= m(x²+ax)+n(x+b)

得：A=m,am+n=B,C=nb,所以n=B-aA=C/b

所以当B-aA=C/b时才成立，即h(x)不能为任意一个二次函数