Question

已知向量

a．

b

.

c

.

d

．及实数x，y满足|

a

|=|

b

|=1，

c

=

a

+（x-3）

b

，

d

=-y

a

+x

b，

若

a

⊥

b，

c

⊥

d

且|

c

|≤

10

．
（1）求y关于x的函数关系 y=f（x）及其定义域．
（2）若x∈（1、6）时，不等式f（x）≥mx-16恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

a

⊥

b

及|

a

|=|

b|

=1可求|

c

|，结合|

c

|≤

10

可求x的取值范围，然后由

c

•

d

=0代入可求y与x之间的关系
（2）由x∈（1，6）时，则使f（x）≥mx-16恒成立，整理可得m+3≤x+

16

x

成立，构造函数g(x)=x+

16

x

，通过研究函数g（x）在区间x∈（1，6）上单调性可求函数g（x）的最小值，从而可求m的取值范围

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，又|

a

|=|

b|

=1
∴|

c|

2=|

a

+(x-3)

b|

2=1+(x-3)2=x2-6x+10≤10
∴0≤x≤6
又∴

c

⊥

d

，∴

c

•

d

=0，而∵

c

•

d

=[

a

+(x-3)

b]

[-y

a

+x

b]

=-y+x(x-3)=0
∴y=x²-3x（0≤x≤6）
（2）若x∈（1，6）时，则使f（x）≥mx-16恒成立，
即使x²-3x≥mx-16恒成立，也就是：m+3≤x+

16

x

成立．
令：g(x)=x+

16

x

在区间[0，4]递减，在区间[4，+∞]递增，
∴当x∈（1，6）时，g（x）min=g（4）=8∴m+3≤8即m≤5

点评：本题以平面向量的基本运输为载体，考查了向量数量积的性质，函数恒成立问题的转化及利用单调性求解函数的最值，体现了转化思想在解题中的应用．