Question

已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0又f（1）=-2．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求f（x）在区间[-3，3]上的值域；
（4）若?x∈R，不等式f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）解：取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0，
取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立，
∴f（x）为奇函数．
（2）证明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，
则x₂-x₁＞0，f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜-f（-x₁），
又f（x）为奇函数，∴f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）为R上的减函数；
（3）∵f（x）为R上的减函数，
∴对任意x∈[-3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（-3），
f（3）=3f（1）=-2×3=-6，∴f（-3）=-f（3）=-6，
故f（x）在[-3，3]上最大值为6，最小值为-6．
故f（x）在区间[-3，3]上的值域为[-6，6]．
（3）解：f（x）为奇函数，整理原式得f（ax²）+2f（-x）＜f（x）+f（-2），
可得f（ax²-2x）＜f（x-2），而f（x）在R上是减函数，
所以ax²-2x＞x-2即ax²-3x+2＞0恒成立，
①当a=0时不成立，
②当a≠0时，有a＞0且△＜0，即，解得a＞．
故a的取值范围为（，+∞）．
分析：（1）取x=y=0可求得f（0），取y=-x可得f（x）与f（-x）的关系，由奇偶性的定义即可判断；
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，由已知可得f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，从而可比较f（x₁）与f（x₂）的大小关系，得到f（x₁）＞f（x₂）；
（3）由（2）知f（x）的单调性，根据单调性即可求得最大值、最小值，从而求得值域；
（4）根据函数的奇偶性、单调性可把f（ax²）+2f（-x）＜f（x）+f（-2）转化为具体不等式恒成立，利用数形结合即可得到关于a的限制条件，解出即可．
点评：本题考查抽象函数 的奇偶性、单调性及其应用，考查函数恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属中档题．