题目内容
已知椭圆
上的点
到左右两焦点
的距离之和为
，离心率为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点
的直线
交椭圆于
两点，若
轴上一点
满足
，求直线
的斜率
的值.
（1）
；（2）
．
【解析】
试题分析：（1）根据
与离心率可求得a，b，c的值，从而就得到椭圆的方程；（2）设出直线的方程
，并与椭圆方程联立消去y可得到关于x的一元二次方程，然后利用中点坐标公式与分类讨论的思想进行解决．
试题解析：（1）
，∴
，
，∴
，∴
，
椭圆的标准方程为．
（2）已知
,设直线的方程为，
-，
联立直线与椭圆的方程
，化简得：
，
∴
，
，
∴
的中点坐标为
．
①当
时，的中垂线方程为
，
∵
，∴点
在的中垂线上，将点的坐标代入直线方程得：
，即
，
解得
或
．
②当
时，的中垂线方程为
，满足题意，
∴斜率
的取值为.
考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．
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