Question

已知直线3x+4y-12=0与x轴、y轴相交于A，B两点，点C在圆（x-5）²+（y-6）²=9上移动，则△ABC面积的最大值和最小值之差为

15

．

Answer 1

分析：作出与已知直线平行且与圆（x-5）²+（y-6）²=9相切的直线，切点分别为P₁、P₂，如图所示．由圆的性质和三角形面积公式可得动点C分别与P₁、P₂重合时，△ABC面积达到最小值和最大值．因此△ABC面积的最大值、最小值之差为S△ABP2-S△ABP1=

5

2

（d₂-d₁），结合圆的切线的性质得到d₂-d₁等于直径，由此即可算出△ABC面积的最大值和最小值之差．

解答：解：设作出与已知直线平行且与圆（x-5）²+（y-6）²=9相切的直线，
切点分别为P₁、P₂，如图所示
则动点C在圆（x-5）²+（y-6）²=9上移动时，若C与点P₁重合时，
△ABC面积达到最小值；而C与点P₂重合时，△ABC面积达到最大值
∵直线3x+4y-12=0与x轴、y轴相交于A（4，0）、B（0，3）两点
可得|AB|=

42+32

=5
∴△ABC面积的最大值和最小值之差为
S=S△ABP2-S△ABP1=

1

2

|AB|（d₂-d₁）=

5

2

（d₂-d₁），
其中d₂、d₁分别为点P₂、点P₁到直线AB的距离
∵P₁、P₂是圆（x-5）²+（y-6）²=9的两条平行切线
∴点P₂、点P₁到直线AB的距离之差等于圆的直径，即d₂-d₁=6
因此△ABC面积的最大值和最小值之差为

5

2

（d₂-d₁）=

5

2

×6=15
故答案为：15

点评：本题给出线段AB和圆上的动点C，求三角形ABC面积的最大值与最小值之差．着重考查了圆的性质、直线与圆的位置关系和三角形的面积计算等知识，属于中档题．