Question

9．S_n为数列{2n+1}的前n项和，求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为$\frac{3}{4}-\frac{1}{2（n+1）}-\frac{1}{2（n+2）}$．

Answer 1

分析 由等差数列的求和公式求得数列{2n+1}的前n项和，代入数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}后由裂项相消法求得数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和．

解答 解：由题意，S_n=3+5+7+…+（2n+1）=$\frac{（3+2n+1）n}{2}=n（n+2）$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
设数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为T_n，
则${T}_{n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{1}{2}（\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}-\frac{1}{2（n+1）}-\frac{1}{2（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的前n项和，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．