题目内容
若函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)-f(x),有以下命题:
①函数f(x)可以为一次函数;
②函数f(x)的最小正周期一定为6;
③若函数f(x)为奇函数且f(1)=0,则在区间[-5,5]上至少有11个零点;
④若ω、φ∈R且ω≠0,则当且仅当ω=2kπ+
(k∈Z)时,函数f(x)=cos(ωx+φ)满足已知条件.
其中错误的是( )
①函数f(x)可以为一次函数;
②函数f(x)的最小正周期一定为6;
③若函数f(x)为奇函数且f(1)=0,则在区间[-5,5]上至少有11个零点;
④若ω、φ∈R且ω≠0,则当且仅当ω=2kπ+
π |
3 |
其中错误的是( )
分析:①假设函数f(x)=ax+b(a≠0),推出来a=b=0,故f(x)不是一次函数;
②由周期的定义得到函数的最小正周期一定为6;
③利用函数奇偶性和周期性,则在区间[-5,5]上只有f(0)=f(±1)=f(±3)=f(±4)=0;
④反例验证④错误.
②由周期的定义得到函数的最小正周期一定为6;
③利用函数奇偶性和周期性,则在区间[-5,5]上只有f(0)=f(±1)=f(±3)=f(±4)=0;
④反例验证④错误.
解答:解:①设f(x)=ax+b(a≠0),
则f(x+2)=a(x+2)+b=ax+(2a+b),
f(x+1)-f(x)=[a(x+1)+b]-(ax+b)=a,
由f(x+2)=f(x+1)-f(x)得ax+(2a+b)=a,
∴a=b=0,
∴f(x)不是一次函数,故①错误;
②∵f(x+6)=f(x+5)-f(x+4)
=f(x+4)-f(x+3)-f(x+4)
=-f(x+3)
即f(x+3)=-f(x),
∴f(x+6)=f(x),
∴最小正周期一定为6,故②正确;
③∵函数f(x)为奇函数且f(1)=0,
∴f(0)=0,f(-1)=-f(1)=0,
又由f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)
=f(x+1)-f(x)-f(x+1)
=-f(x)
∴f(-3)=f(3)=0,f(-4)=f(4)=0,故③错误;
④当f(x)=sin
时,
f(x+2)=sin
(x+2)=sin(
+
x)
=-
sin
x+
cos
x
f(x+1)-f(x)=sin
(x+1)-sin
x=sin(
x+
)-sin
x
=
sin
x+
cos
x-sin
x
=-
sin
x+
cos
x
也符合f(x+2)=f(x+1)-f(x),故④错误.
故选:B
则f(x+2)=a(x+2)+b=ax+(2a+b),
f(x+1)-f(x)=[a(x+1)+b]-(ax+b)=a,
由f(x+2)=f(x+1)-f(x)得ax+(2a+b)=a,
∴a=b=0,
∴f(x)不是一次函数,故①错误;
②∵f(x+6)=f(x+5)-f(x+4)
=f(x+4)-f(x+3)-f(x+4)
=-f(x+3)
即f(x+3)=-f(x),
∴f(x+6)=f(x),
∴最小正周期一定为6,故②正确;
③∵函数f(x)为奇函数且f(1)=0,
∴f(0)=0,f(-1)=-f(1)=0,
又由f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)
=f(x+1)-f(x)-f(x+1)
=-f(x)
∴f(-3)=f(3)=0,f(-4)=f(4)=0,故③错误;
④当f(x)=sin
πx |
3 |
f(x+2)=sin
π |
3 |
2π |
3 |
π |
3 |
=-
1 |
2 |
π |
3 |
| ||
2 |
π |
3 |
f(x+1)-f(x)=sin
π |
3 |
π |
3 |
π |
3 |
π |
3 |
π |
3 |
=
1 |
2 |
π |
3 |
| ||
2 |
π |
3 |
π |
3 |
=-
1 |
2 |
π |
3 |
| ||
2 |
π |
3 |
也符合f(x+2)=f(x+1)-f(x),故④错误.
故选:B
点评:本题主要考查函数的奇偶性,单调性,周期性和对称性,综合性很强,应分清思路,耐心解决.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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