题目内容

下列命题中正确的有    .(填上所有正确命题的序号)
①若f(x)可导且f'(x)=0,则x是f(x)的极值点;
②函数f(x)=xe-x,x∈[2,4]的最大值为2e-2
③已知函数,则的值为
④一质点在直线上以速度v=t2-4t+3(m/s)运动,从时刻t=0(s)到t=4(s)时质点运动的路程为
【答案】分析:利用极值点满足的条件判断出命题①错;通过对函数求导数,判断出导函数的符号,判断出函数的单调性,求出函数的最值,判断出②对;利用定积分的几何意义,判断出③对;利用对速度求定积分得到路程判断出④对.
解答:解:对于①,极值点满足的条件是导数为0,且左右两边的函数值符号相反,故①错
对于②,f′(x)=e-x(1-x),∵x∈[2,4]∴f′(x)<0∴f(x)在[2,4]上为减函数,故f(x)的最小值是f(2)=2e-2
对于③,的图象是上半个圆,∴∫1f(x)dx表示个圆,所以面积为,故③对
对于④,从时刻t=0(s)到t=4(s)时质点运动的路程为,故④对
故答案为②③④
点评:本题考查极值点满足的条件、考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查利用函数的单调性求函数的最值、考查定积分的几何意义及定积分在物理上的应用.
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