Question

如图所示,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC,设AD中点为P.

(1)当E为BC中点时,求证:CP∥平面ABEF;
(2)设BE=x,问当x为何值时,三棱锥ACDF的体积有最大值?并求出这个最大值.

Answer 1

（1）见解析  （2）当x=3时, 有最大值,最大值为3

解析(1)证明:取AF的中点Q,
连接QE、QP,
则QPDF,
又DF=4,EC=2,且DF∥EC,
所以QPEC,
即四边形PQEC为平行四边形,
所以CP∥EQ,
又EQ?平面ABEF,CP?平面ABEF,
故CP∥平面ABEF.
(2)解:因为平面ABEF⊥平面EFDC,
平面ABEF∩平面EFDC=EF,
又AF⊥EF,所以AF⊥平面EFDC.
由已知BE=x,所以AF=x(0<x≤4),FD=6-x.
故=··2·(6-x)·x
=(6x-x²)
=[-(x-3)²+9]
=-(x-3)²+3,
∴当x=3时,有最大值,最大值为3.