题目内容
定义:若数列满足,则称数列为“平方数列”。已知数列 中,,点在函数的图像上,其中为正整数。
⑴证明:数列是“平方数列”,且数列为等比数列。
⑵设⑴中“平方数列”的前项之积为,即,求数列的通项及关于的表达式。
⑶记,求数列的前项之和,并求使的的最小值。
(Ⅰ)由条件an+1=2an2+2an, 得2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2.∴{bn}是“平方数列”.
∴lgbn+1=2lgbn.∵lg(2a1+1)=lg5≠0,∴=2.∴{lg(2an+1)}为等比数列.
(Ⅱ)∵lg(2a1+1)=lg5,∴lg(2an+1)=2n-1×lg5,∴2an+1=5,∴an=(5-1).[来源:Zxxk.Com]
∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)==(2n-1)lg5.
∴Tn=5.
(3)cn====2-,
∴Sn=2n-[1+++…+]=2n-=2n-2[1-]=2n-2+2.
由Sn>4020得2n-2+2>4020,n+>2011,
当n≤2010时,n+<2011,当n≥2011时,n+>2011,∴n的最小值为2011.
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