题目内容

已知函数f(x)=2sin2(
π
2
-x)+2
3
sin（π-x）cosx，
（1）求函数f（x）在[-
π
6
，
π
3
]上的值域；
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA．
化简函数为：f（x）=2cos2x+2
3
sinxcosx=
3
sin2x+cos2x+1=2sin(2x+
π
6
)+1，
（1）当x∈[-
π
6
，
π
3
]时，2x+
π
6
∈[-
π
6
，
5π
6
]，
∴sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
， 1]，2sin（2x）+1∈[0，3]，即f（x）∈[0，3]；
∴函数f（x）的值域为[0，3]．
（2）由条件知f(C)=2sin(2C+
π
6
)+1=2，
即：sin(2C+
π
6
)=
1
2
，0＜C＜π，所以C=
π
3
，
又∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），
∴2sinB=cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC），
∴sinB=sinAsinC，由C=
π
3
，A+B+C=π可得：
sin（A+C）=
3
2
sinA，即sinAcosC+cosAsinC=
3
2
sinA，
所以：
1
2
tanA+
3
2
=
3
2
tanA，
解得：tanA=
3
+3
2
．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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