Question

12．已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在直线l：y=3x+1上，P₁是直线l与y轴的交点，数列{a_n}是公差为1的等差数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}}$+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{3}{|}^{2}}$+…+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{n+1}{|}^{2}}$＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在直线l：y=3x+1上，可得b_n=3a_n+1，直线l与y轴的交点为（0，1），再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由P₁（0，1），P_n（n-1，3n-2），可得P_n+1（n，3n+1）．于是$|{P}_{1}{P}_{n+1}{|}^{2}$=n²+（3n）²=10n²，可得$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{n+1}{|}^{2}}$=$\frac{1}{10{n}^{2}}$＜$\frac{1}{10}•\frac{1}{{n}^{2}-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{5}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
再利用“裂项求和”求出即可证明．

解答 （1）解：∵点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在直线l：y=3x+1上，
∴b_n=3a_n+1，直线l与y轴的交点为（0，1），
∴a₁=0，b₁=1．
∵数列{a_n}是公差为1的等差数列，
∴a_n=n-1．
∴b_n=3（n-1）+1=3n-2．
∴数列{a_n}，{b_n}的通项公式分别为：a_n=n-1，b_n=3n-2．
（2）证明：∵P₁（0，1），P_n（n-1，3n-2），
∴P_n+1（n，3n+1）．
∴$|{P}_{1}{P}_{n+1}{|}^{2}$=n²+（3n）²=10n²，
∴$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{n+1}{|}^{2}}$=$\frac{1}{10{n}^{2}}$＜$\frac{1}{10}•\frac{1}{{n}^{2}-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{5}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴当n≥2时，$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}}$+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{3}{|}^{2}}$+…+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{n+1}{|}^{2}}$＜$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{5}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+$…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{10}+\frac{1}{5}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{1}{10}+\frac{1}{15}$$＜\frac{1}{6}$．．
又当n=1时，$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}}$=$\frac{1}{10}＜\frac{1}{6}$．
∴$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}}$+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{3}{|}^{2}}$+…+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{n+1}{|}^{2}}$＜$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．