Question

如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有______条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）=______；f（n）=______．（答案用数字或n的解析式表示）

Answer 1

凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，
所以可以分为两类：侧棱共有n条，
底面上的直线（包括底面的边和对角线）

n(n-1)

2

条
两类合起来共有

n(n+1)

2

条．
在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面，
底面上共有直线（包括底面的边和对角线）

n(n-1)

2

条，其中不过某个顶点的有

(n-2)•(n-1)

2

=

n2-3n+2

2

条
所以，f（n）=

n(n2-3n+2)

2

，f（4）=12．
故答案为：

n(n+1)

2

，12，

n(n2-3n+2)

2

．