Question

如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有

 

条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）=

 

；f（n）=

 

．（答案用数字或n的解析式表示）

Answer 1

分析：本题主要考查合情推理，以及经历试值、猜想、验证的推理能力．凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，过顶点与底边上每个顶点都可确定一条侧棱所在的直线，过底面上任一点与底面上其它点均可确定一条直线（边或对角线），综合起来不难得到第一空的答案，因为底面上所有的直线均共面，故每条侧棱与不过该顶点的其它直线都是异面直线．

解答：解：凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，
所以可以分为两类：侧棱共有n条，
底面上的直线（包括底面的边和对角线）

n(n-1)

2

条
两类合起来共有

n(n+1)

2

条．
在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面，
底面上共有直线（包括底面的边和对角线）

n(n-1)

2

条，其中不过某个顶点的有

(n-2)•(n-1)

2

=

n2-3n+2

2

条
所以，f（n）=

n(n2-3n+2)

2

，f（4）=12．
故答案为：

n(n+1)

2

，12，

n(n2-3n+2)

2

．

点评：一题多空是高考数学卷中填空题的一种新形式，结合合情推理出现一题多空，较好地再现了推理的过程．三空的问题环环相扣，难易程度十分合理，前两空简单易求，第三空难度有所增加，需要学生具备较高层次的数学思维能力．本题以组合计算为工具，考查了类比与归纳、探索与研究的创新能力．