题目内容
如图,P为平面ABCD外一点,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点,
(1)求证:PB⊥DM;
(2)求异面直线PB与CD所成角。
(1)求证:PB⊥DM;
(2)求异面直线PB与CD所成角。
(1)证明:∵N是PB的中点,M为PC中点,
∴MN∥BC,
∵BC∥AD,
∴MN∥AD,
∴A、D、M、N四点共面,
又∵PA=AB,
∴AN⊥PB,
又∵PA⊥面ABCD,PB在面ABCD内的射影为AB,
∵AD⊥AB,AD
面ABCD,
∴AD⊥PB,
又∵AN∩AD于A,
∴PB⊥面ADMN,
∴PB⊥MD;
(2)取AD中点H,连结BH、PH,
∵
,
∴
,
∴BH∥CD,
∴∠PBH为异面直线CD与PB所成角或其补角,
设BC=1,则PA=AB=AD=2,则PB=2
,
在Rt△BAH中,BH=
,
在Rt△PAH中,PH=
,
∴
,
即异面直线CD与PB所成角为
。
∴MN∥BC,
∵BC∥AD,
∴MN∥AD,
∴A、D、M、N四点共面,
又∵PA=AB,
∴AN⊥PB,
又∵PA⊥面ABCD,PB在面ABCD内的射影为AB,
∵AD⊥AB,AD

∴AD⊥PB,
又∵AN∩AD于A,
∴PB⊥面ADMN,
∴PB⊥MD;
(2)取AD中点H,连结BH、PH,
∵

∴

∴BH∥CD,
∴∠PBH为异面直线CD与PB所成角或其补角,
设BC=1,则PA=AB=AD=2,则PB=2

在Rt△BAH中,BH=

在Rt△PAH中,PH=

∴

即异面直线CD与PB所成角为


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