Question

16．若f（$\sqrt{x}$-1）=x+4$\sqrt{x-1}+5$，则f（x²-2）的解析式为（x²-1）²+4$\sqrt{{（{x}^{2}-1）}^{2}-1}+5$，x∈（-∞，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据已知中f（$\sqrt{x}$-1）=x+4$\sqrt{x-1}+5$，先利用换元法，求出f（t）=（t+1）²+4$\sqrt{{（t+1）}^{2}-1}+5$，t≥0，再利用代入法得到f（x²-2）的解析式．

解答 解：由x-1≥0得：x≥1，
令t=$\sqrt{x}$-1，则t≥0，
x=（t+1）²，
∵f（$\sqrt{x}$-1）=x+4$\sqrt{x-1}+5$，
∴f（t）=（t+1）²+4$\sqrt{{（t+1）}^{2}-1}+5$，t≥0，
由x²-2≥0得，x∈（-∞，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，+∞），
∴f（x²-2）=（x²-2+1）²+4$\sqrt{{（{x}^{2}-2+1）}^{2}-1}+5$=（x²-1）²+4$\sqrt{{（{x}^{2}-1）}^{2}-1}+5$，x∈（-∞，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，+∞），
故答案为：（x²-1）²+4$\sqrt{{（{x}^{2}-1）}^{2}-1}+5$，x∈（-∞，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，+∞）

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求解方法--换元法和代入法，难度中档．