题目内容
（2013•重庆）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=| π | 3 |
（1）求PA的长；
（2）求二面角B-AF-D的正弦值．
分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，-3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2
，从而得到
=（0，0，-2
），可得PA的长为2
；
（II）由（I）的计算，得
=（-
，3，0），
=（
，3，0），
=（0，2，
）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出
=（3，
，-2）和
=（3，-
，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出
、
夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B-AF-D的正弦值．．
| 3 |
| PA |
| 3 |
| 3 |
（II）由（I）的计算，得
| AD |
| 3 |
| AB |
| 3 |
| AF |
| 3 |
| m |
| 3 |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点O
∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD
以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，
则OC=CDcos
=1，而AC=4，可得AO=AC-OC=3．
又∵OD=CDsin
=
，
∴可得A（0，-3，0），B（
，0，0），C（0，1，0），D（-
，0，0）
由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，-3，z）
∵F为PC边的中点，∴F（0，-1，
），由此可得
=（0，2，
），
∵
=（
，3，-z），且AF⊥PB，
∴
•
=6-
z2=0，解之得z=2
（舍负）
因此，
=（0，0，-2
），可得PA的长为2
；
（II）由（I）知
=（-
，3，0），
=（
，3，0），
=（0，2，
），
设平面FAD的法向量为
=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为
=（x2，y2，z2），
∵
•
=0且
•
=0，∴
，取y1=
得
=（3，
，-2），
同理，由
•
=0且
•
=0，解出
=（3，-
，2），
∴向量
、
的夹角余弦值为cos＜
，
＞=
=
=
因此，二面角B-AF-D的正弦值等于
=
∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD
以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，
则OC=CDcos
| π |
| 3 |
又∵OD=CDsin
| π |
| 3 |
| 3 |
∴可得A（0，-3，0），B（
| 3 |
| 3 |
由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，-3，z）
∵F为PC边的中点，∴F（0，-1，
| z |
| 2 |
| AF |
| z |
| 2 |
∵
| PB |
| 3 |
∴
| AF |
| PB |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
因此，
| PA |
| 3 |
| 3 |
（II）由（I）知
| AD |
| 3 |
| AB |
| 3 |
| AF |
| 3 |
设平面FAD的法向量为
| m |
| n |
∵
| m |
| AD |
| m |
| AF |
|
| 3 |
| m |
| 3 |
同理，由
| n |
| AB |
| n |
| AF |
| n |
| 3 |
∴向量
| m |
| n |
| m |
| n |
| ||||
|
|
3×3+
| ||||
|
| 1 |
| 8 |
因此，二面角B-AF-D的正弦值等于
1-(
|
3
| ||
| 8 |
点评：本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．
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