Question

下列四个命题：
（1）在四边形ABCD中，若|

AB

+

AC

|=|

AB

-

AC

|，则四边形ABCD是矩形；
（2）已知角α的终边经过点（-3a，4a）（a≠0），则sinα=

4

5

；
（3）在△ABC中，tanAtanB＜1，则△ABC的形状一定为钝角三角形；
（4）sin（α+β）≤sinα+sinβ．
其中正确的有

 

（请填写相应的序号）．

Answer 1

分析：由|

AB

+

AC

|=|

AB

-

AC

|，即四边形两对角线相等，知（1）不正确；
根据任意角的三角函数的定义知（2）不正确．
分类讨论，根据tanA tanB＜0  或0＜tanA tanB＜1，都能推出△ABC的形状一定为钝角三角形，故（3）正确．
通过举反例可得（4）不正确．

解答：解：（1）在四边形ABCD中，若|

AB

+

AC

|=|

AB

-

AC

|，即两对角线相等，故四边形ABCD是矩形或等腰梯形，
故（1）不正确．
（2）已知角α的终边经过点（-3a，4a）（a≠0），则sinα=

4a

|5a|

=±

4

5

；故（2）不正确．
（3）在△ABC中，tanAtanB＜1，若tanA tanB＜0，则B、A中必有一个钝角，则△ABC的形状一定为钝角三角形，
若 0＜tanA tanB＜1，则tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanA•tanB

＞0，故A+B为锐角，故角 C为钝角，
△ABC的形状一定为钝角三角形．总之，△ABC的形状一定为钝角三角形成立，故（3）正确．
（4）sin（α+β）≤sinα+sinβ 不正确，如 α=β=225°时，
sin（α+β）=sin（450°）=sin（360°+90°）=sin90°=1，
而sinα+sinβ=sin225°+sin225°=-

2

2

-

2

2

=-

2

，故（4）不正确．
综上，只有（3）正确，
故答案为：（3）．

点评：本题考查两个向量加减法的几何意义，任意角的三角函数的定义，由三角函数的值判断角的范围．