Question

已知A，B，C是函数y=e^x图象上的三点，横坐标分别为t-1，t，t+1．
（1）当t=1时，求实数x，y的值，使得

.

OB

=x

.

OA

+y

.

OC

，其中O为坐标原点；
（2）①证明：对任意实数t，A，B，C三点不在同一条直线上；②问△ABC是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形？说明理由．

Answer 1

分析：（1）t=1时，由

.

OB

=x

.

OA

+y

.

OC

，得关于x，y的方程组，解出即可；
（2）①写出向量

AB

、

BC

，根据向量共线的充要条件可证明；②根据

BA

•

BC

的符号及△ABC可作出判断；

解答：（1）解：当t=1时，

.

OA

=(0，1)，

.

OB

=(1，e)，

.

OC

=(2，e2)，
代入

.

OB

=x

.

OA

+y

.

OC

得：

2y=1 x+ye2=e

，
解得x=e-

e2

2

，y=

1

2

．
（2）①证明：

.

AB

=(1，et-et-1)=(1，et(1-e-1))，

.

BC

=(1，et+1-et)=(1，et(e-1))，
因为1×e^t（e-1）-1×e^t（1-e^-1）=e^t（e+e^-1-2）=e^t-1（e-1）²＞0，
所以

.

AB

与

.

BC

不共线，从而A，B，C三点不在同一条直线上； 
②解：△ABC是钝角三角形．
因为

.

BA

•

.

BC

=(-1，-et(1-e-1))•(1，et(e-1))=-1-e^2t-1（e-1）²＜0，
所以

.

BA

•

.

BC

=|

.

BA

|•|

.

BC

|cosB＜0，cosB＜0，
由0≤B≤π及①知

π

2

＜B＜π．
所以△ABC是钝角三角形．

点评：本题考查向量共线、三点共线问题，熟记向量共线的充要条件是解决问题的关键．