Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，如果a₁=$\frac{6}{7}$，a_n=$\frac{3{S}_{n}}{n+3}$，那么a₄₈=350．

Answer 1

分析 由a_n=$\frac{3{S}_{n}}{n+3}$，可得3S_n=（n+3）a_n，利用递推式可得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+2}{n}$，利用“累乘求积”即可得出．

解答 解：∵a_n=$\frac{3{S}_{n}}{n+3}$，∴3S_n=（n+3）a_n，
当n≥2时，3S_n-1=（n+2）a_n-1，
∴3a_n=3S_n-3S_n-1=（n+3）a_n-（n+2）a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+2}{n}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n+2}{n}$•$\frac{n+1}{n-1}$•$\frac{n}{n-2}$•…•$\frac{5}{3}$•$\frac{4}{2}•\frac{6}{7}$
=$\frac{（n+2）（n+1）}{7}$，
当n=1时上式也成立，
∴a₄₈=$\frac{50×49}{7}$=350，
故答案为：350．

点评 本题考查了递推式的应用、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．