题目内容

去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.
(1) 求的值；
(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）
(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.
（1）0.03；（2）24.6；（3）分布列详见解析，.

试题分析：本题主要考查频率分布直方图、由样本估计总体求平均值、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，利用频率分布直方图中长方形的高=频率/组距，而所有频率之和为1，来计算a的值；第二问，根据样本数据，估计总体的平均值的计算公式为：频率分布直方图中，每一个长方形的中点×高×组距，得到的数据之和即为平均值；第三问，利用频率分布直方图先得到内的频率，即“特优等级”的概率值，通过分析题意可知随机变量服从二项分布，利用计算出每一种情况的概率，再利用计算出数学期望.
试题解析：(1) 由题意，得，                   1分
解得.                                                 2分
（2）个样本中空气质量指数的平均值为
               3分
由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为.     4分
（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，
且指数达到“特优等级”的概率为，则.            5分
的取值为，                                           6分
，，
，.      10分
∴的分布列为：










  11分
∴.                     12分
（或者）
练习册系列答案
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（2）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望.
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ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率__________________________
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2
3
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2
5
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1
10
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1
15
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A．B．C．D．
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A．B．C．D．
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A．6B．7.8C．9D．12

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