Question

（2012•蓝山县模拟）某高校2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160，165），第2组[165，170），第3组[170，175），第4组[175，180），第5组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求第3、4、5组的频率并估计这次考试成绩的众数；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求：第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率？

Answer 1

分析：（1）利用频率等于频数乘以组距得到各组的频率，根据众数是直方图中最高矩形的底边中点的坐标，求出众数的估计值．
（2）利用频数等于频率乘以样本容量得到，第3，4，5组共有60名学生，利用各组的人数与样本容量的比乘以60得到每组抽取的人数．
（3）列举出从六位同学中抽两位同学的所有的抽法，列举出第4组的2位同学为B₁，B₂，至少有一位同学入选的抽法，由古典概型的概率公式求出概率．

解答：解：（1）由题设可知，第3组的频率为0.06×5=0.3；
第4组的频率为0.04×5=0.2
第5组的频率为0.02×5=0.1．…（3分）
估计这次考试成绩的众数为167．（5分）．…（4分）
（2）第三组的人数为0.3×100=30人；
第四组的人数为0.2×100=20人；
第五组的人数为0.1×100=10人；
因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：
第3组抽30×

6

60

=3人； …（5分）
第4组抽20×

6

60

=2人； …（6分）
第5组抽10×

6

60

=1人； …（7分）
所以第3，4，5组分别抽取出3人，2人和1人．…（8分）
（3）设第3组的3位同学为A₁，A₂，A₃，第4组的两位同学为B₁，B₂，
第5组的1位同学为C₁，…（9分）
则从六位同学中抽两位同学有：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁）（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）
共15种可能．…（10分）
其中第4组的2位同学为B₁，B₂，至少有一位同学入选的有（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁）（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）共9种可能…（11分）
所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为

9

15

=

3

5

．…（13分）．

点评：本题考查古典概型及其概率公式．考查分层抽样方法，本题好似一个概率与统计的综合题目，题目的运算量适中，是一个比较好的题目．