题目内容

已知函数f（x）定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，则f（2005）=________．

4010
分析：整理所给的抽象函数式f（x+2）=2f（x+1）-f（x），得到此函数值构成了一个等差数列，根据所给的两项求出首项和公差，由等差数列的通项公式求出f（2005）的值．
解答：由题意知对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），
故f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x），
∴此函数的值构成了一个等差数列，
首项f（1）=2，公差为 $\text{[math]}$ =2，
∴f（2005）=2+2004×2=4010．
故答案为：4010．
点评：本题考查了函数求值，此题解题的关键是通过所给的关系式把函数值和等差数列联系在一起，把函数求值转化为数列问题，本题是一个综合题目．

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