题目内容
在平面直角坐标系xOy内有两个定点M(-
,0),N(
,0),动点P满足|
|+|
|=4
,记点P的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程;
(Ⅱ)判断是否存在点P,使得|PM|,|MN|,|PN|成等比数列?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)设点A,B是曲线C上的两点,且|AB|=
,求△AOB面积的取值范围.
6 |
6 |
PM |
PN |
2 |
(I)求曲线C的方程;
(Ⅱ)判断是否存在点P,使得|PM|,|MN|,|PN|成等比数列?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)设点A,B是曲线C上的两点,且|AB|=
8 |
3 |
分析:(Ⅰ)由题意可得动点P的轨迹是椭圆,根据已知条件求出a,c,再由b2=a2-c2求出b,则答案可求;
(Ⅱ)假设存在点P,使得|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则由焦半径公式得到关于P点横坐标的方程,求解方程无实数解,所以假设错误,不存在点P,使得|PM|,|MN|,|PN|成等比数列;
(Ⅲ)分AB所在直线与x轴垂直和不垂直两种情况讨论,垂直时求出三角形的面积,斜率不存在时射出直线方程,和椭圆方程联立后利用弦长公式得到直线的斜率和截距的关系,由圆心到直线的距离得到圆心到直线的距离,代入面积公式后化为一个变量的关系式,利用配方法求最值.
(Ⅱ)假设存在点P,使得|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则由焦半径公式得到关于P点横坐标的方程,求解方程无实数解,所以假设错误,不存在点P,使得|PM|,|MN|,|PN|成等比数列;
(Ⅲ)分AB所在直线与x轴垂直和不垂直两种情况讨论,垂直时求出三角形的面积,斜率不存在时射出直线方程,和椭圆方程联立后利用弦长公式得到直线的斜率和截距的关系,由圆心到直线的距离得到圆心到直线的距离,代入面积公式后化为一个变量的关系式,利用配方法求最值.
解答:解:(Ⅰ)因为两定点的坐标为M(-
,0),N(
,0),
所以|MN|=2
=
,由动点P满足|
|+|
|=4
=
>
,
所以点P的轨迹为以2
为半长轴,以M(-
,0),N(
,0)为焦点的椭圆.
由b2=a2-c2=(2
)2-(
)2=2.
所以曲线C的方程为
+
=1;
(Ⅱ)若存在点P(x0,y0),使得|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,
则|PM||PN|=|MN|2,
因为椭圆的离心率e=
=
,由焦半径公式得:|PM|=2
+
x0,|PN|=2
-
x0.
所以(2
+
x0)(2
-
x0)=4×(
)2,即8-
x02=24,此方程无解.
故不存在点P,使得|PM|,|MN|,|PN|成等比数列;
(Ⅲ)当直线AB的斜率不存在时,由|AB|=
,得A,B的纵坐标分别为±
.
代入椭圆方程可得其横坐标为-
或
.
此时S△OAB=
×
×
=
;
当直线AB的斜率存在时,
设AB所在直线方程为y=kx+b,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
,得(1+4k2)x2+8kbx+4b2-8=0.
所以x1+x2=-
,x1x2=
.
|AB|=
=
=
,
整理得:|b|=
.
原点O(0,0)到AB所在直线的距离为d=
.
所以S△OAB=
×
×
=
×
=
.
令
=t(0<t≤1).
则S△OAB=
.
所以当t=
时,S△OAB有最大值为2.
所以
<S△OAB≤2.
综上,
≤S△OAB≤2.
所以,△AOB面积的取值范围是[
,2].
6 |
6 |
所以|MN|=2
6 |
24 |
PM |
PN |
2 |
32 |
24 |
所以点P的轨迹为以2
2 |
6 |
6 |
由b2=a2-c2=(2
2 |
6 |
所以曲线C的方程为
x2 |
8 |
y2 |
2 |
(Ⅱ)若存在点P(x0,y0),使得|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,
则|PM||PN|=|MN|2,
因为椭圆的离心率e=
| ||
2
|
| ||
2 |
2 |
| ||
2 |
2 |
| ||
2 |
所以(2
2 |
| ||
2 |
2 |
| ||
2 |
6 |
3 |
4 |
故不存在点P,使得|PM|,|MN|,|PN|成等比数列;
(Ⅲ)当直线AB的斜率不存在时,由|AB|=
8 |
3 |
4 |
3 |
代入椭圆方程可得其横坐标为-
2
| ||
3 |
2
| ||
2 |
此时S△OAB=
1 |
2 |
8 |
3 |
2
| ||
3 |
8
| ||
9 |
当直线AB的斜率存在时,
设AB所在直线方程为y=kx+b,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
|
所以x1+x2=-
8kb |
1+4k2 |
4b2-8 |
1+4k2 |
|AB|=
1+k2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
1+k2 |
(-
|
8 |
3 |
整理得:|b|=
| ||
3
|
原点O(0,0)到AB所在直线的距离为d=
|b| | ||
|
所以S△OAB=
1 |
2 |
8 |
3 |
|b| | ||
|
=
4 |
9 |
|
=
4 |
9 |
-36•(
|
令
1 |
1+k2 |
则S△OAB=
4 |
9 |
-36t2+42t+8 |
所以当t=
7 |
12 |
所以
8
| ||
9 |
综上,
8
| ||
9 |
所以,△AOB面积的取值范围是[
8
| ||
9 |
点评:本题考查了曲线方程的求法,考查了等比关系的确定,考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了一元二次方程的根与系数关系,考查了换元法,特别是考查了学生的计算能力,属有一定难度题目.

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