Question

下列五个命题中，正确的命题的序号是

①④

．
①函数y=tan

x

2

的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；
②f（x）在（a，b）上连续，x₀∈（a，b）且f（x₀）=0 则f（a）f（b）＜0；
③函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象可由函数y=3sin2x的图象向右平移

π

3

个单位得到；
④f（x）在R上的导数f′(x)，且xf′(x)-f(x)＜0，则

f(2)

2

＜f(1)；
⑤函数y=ln（1+2cos2x）的递减区间是[kπ，kπ+

π

4

]（k∈Z）．

Answer 1

分析：根据正切函数的对称性，可判断①；根据零点存在定理的逆命题不一定成立，可判断②；根据函数图象的平移变换法则，可判断③；构造函数g（x）=

f(x)

x

，利用导数法判断其单调性，可判断④；根据复合函数单调性及对数函数和余弦函数的图象和性质，可得答案．

解答：解：令

x

2

=

kπ

2

，k∈Z，得x=kπ，k∈Z，故函数y=tan

x

2

的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z，即①正确；
由f（x₀）=0可得x₀为函数f（x）的零点，但若x₀为函数f（x）的不变号零点，则f（a）f（b）＜0不一定成立，即②错误；
函数y=3sin2x的图象向右平移

π

3

个单位得到y=3sin2（x+

π

3

）=函数y=3sin（2x

2π

3

）的图象，故③错误；
令g（x）=

f(x)

x

，则g′（x）=

f′(x)x-f(x)

x2

，由f′（x）x-f（x）＜0可得：g′（x）＜0恒成立，故

f(2)

2

＜f（1），故④正确；
函数y=ln（1+2cos2x）的递减区间是[kπ，kπ+

π

3

），（k∈Z），故⑤错误．
故答案为：①④

点评：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的对称性，函数的零点，函数图象的平移变换，函数的单调性等知识点，综合性强，但难度不大．