Question

（2009•武汉模拟）（文科做）已知曲线f（x）=x³+bx²+cx+d经过原点（0，0），且直线y=0与y=-x均与曲线c：y=f（x）相切．
（1）求f（x）的解析式；         
（2）在b∈R⁺时，求函数y=f（x）的极值．

Answer 1

分析：（1）易得出d=0，y=x³+bx²+cx．设y=-x与y=x³+bx²+cx切于点（x₀，y₀），则有如下三个关系：①点（x₀，y₀）在y=-x上，②点（x₀，y₀）在y=x³+bx²+cx上 ③f′（x₀）=-1
以x0为桥梁得出b，c关系或数值．同样地再通过y=-x均与曲线c：y=f（x）相切．最后确定b，c的值，得出解析式．
 （2）利用函数导数与单调性的关系，求出的单调区间，再求极值．

解答：解：（1）若y=x³+bx²+cx+d过点（0，0），则d=0，∴y=x³+bx²+cx．
设y=-x与y=x³+bx²+cx切于点（x₀，y₀），则

y0=-x0 x 3 0 +b x 2 0 +cx0=y0 3 x 2 0 +2bx0+c=-1

即

3 x 2 0 +2bx0+c+1=0 x0( x 2 0 +bx0+c+1)=0

，
若x₀=0时，则c+1=0；
若x₀≠0时，则

x 2 0 +bx0+c+1=0 3 x 2 0 +2bx0+c+1=0

则2x₀²+bx₀=0，∵x₀≠0，，则有x0=-

b

2

，将x0=-

b

2

代入x₀²+bx₀+c+1=0中得到：

b2

4

=c+1．
故c=-1或

b2

4

=c+1．
设y=0与y=x³+bx²+cx切于点（x₁，y₁），则

y0=0 3 x 2 1 +2bx1+c=0 x 3 1 +b x 2 1 +cx1=0

，即

3 x 2 1 +2bx1+c=0 x1( x 2 1 +bx1+c)=0

，
若x₁=0时，有c=0；
若x₁≠0时，则

3 x 2 1 +2bx1+c=0 x 2 1 +bx1+c=0

则2x₁²+bx₁=0，∴x1=-

b

2

代3x₁²+2bx₁+c=0中得到

b2

4

=c
故c=0或

b2

4

=c．
在c=-1时，

b2

4

=c不可能成立，舍c=-1．
在c=0时，

b2

4

=c+1，则b=±2，故所是解析式为y=x³±2x²．
（2）在b＞0时，y=x³+2x²，y′=3x²+4x=x（3x+4）
由y′＞0得  x＜-

4

3

或x＞0  f（x）的单增区间是（-∞，-

4

3

），（0，+∞）
由y′=0 得x=-

4

3

或x=0
由y′＜0得 0＞x＞-

4

3

，f（x）的单减区间是（-

4

3

，0）
 在x=-

4

3

时取极大值．f(-

4

3

)=

32

27

，x=0时取得极小值 f（0）=0

点评：本题考查导数的几何意义，函数导数与单调性的关系，函数极值求解，是常规题．